3.11.94 \(\int \frac {1}{(a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx\) [1094]

Optimal. Leaf size=357 \[ \frac {\left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2-10 i c^2 d^3-35 c d^4+25 i d^5\right ) x}{8 a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5}+\frac {(5 c-3 i d) d^4 \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^3 (i c-d)^5 (c-i d)^2 f}+\frac {d \left (c^3+5 i c^2 d-11 c d^2+25 i d^3\right )}{8 a^3 (c-i d) (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 (i c-d)^3 f \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))} \]

[Out]

1/8*(c^5+5*I*c^4*d-10*c^3*d^2-10*I*c^2*d^3-35*c*d^4+25*I*d^5)*x/a^3/(c-I*d)^2/(c+I*d)^5+(5*c-3*I*d)*d^4*ln(c*c
os(f*x+e)+d*sin(f*x+e))/a^3/(I*c-d)^5/(c-I*d)^2/f+1/8*d*(c^3+5*I*c^2*d-11*c*d^2+25*I*d^3)/a^3/(c-I*d)/(c+I*d)^
4/f/(c+d*tan(f*x+e))-1/6/(I*c-d)/f/(a+I*a*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))+1/24*(3*I*c-11*d)/a/(c+I*d)^2/f/(a+I*
a*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))+1/8*(c^2+5*I*c*d-12*d^2)/(I*c-d)^3/f/(a^3+I*a^3*tan(f*x+e))/(c+d*tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.64, antiderivative size = 357, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 28, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.179, Rules used = {3640, 3677, 3610, 3612, 3611} \begin {gather*} \frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 f (-d+i c)^3 \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))}+\frac {d \left (c^3+5 i c^2 d-11 c d^2+25 i d^3\right )}{8 a^3 f (c-i d) (c+i d)^4 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {x \left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2-10 i c^2 d^3-35 c d^4+25 i d^5\right )}{8 a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5}+\frac {d^4 (5 c-3 i d) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^3 f (-d+i c)^5 (c-i d)^2}+\frac {-11 d+3 i c}{24 a f (c+i d)^2 (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac {1}{6 f (-d+i c) (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2),x]

[Out]

((c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 - (10*I)*c^2*d^3 - 35*c*d^4 + (25*I)*d^5)*x)/(8*a^3*(c - I*d)^2*(c + I*d)^5)
+ ((5*c - (3*I)*d)*d^4*Log[c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]])/(a^3*(I*c - d)^5*(c - I*d)^2*f) + (d*(c^3 + (5*I)
*c^2*d - 11*c*d^2 + (25*I)*d^3))/(8*a^3*(c - I*d)*(c + I*d)^4*f*(c + d*Tan[e + f*x])) - 1/(6*(I*c - d)*f*(a +
I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])) + ((3*I)*c - 11*d)/(24*a*(c + I*d)^2*f*(a + I*a*Tan[e + f*x])^2*(c +
d*Tan[e + f*x])) + (c^2 + (5*I)*c*d - 12*d^2)/(8*(I*c - d)^3*f*(a^3 + I*a^3*Tan[e + f*x])*(c + d*Tan[e + f*x]
))

Rule 3610

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(b
*c - a*d)*((a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2))), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a + b*Tan[e +
f*x])^(m + 1)*Simp[a*c + b*d - (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
- a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3611

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(c/(b*f))
*Log[RemoveContent[a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x], x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[a*c + b*d, 0]

Rule 3612

Int[((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(a*c +
b*d)*(x/(a^2 + b^2)), x] + Dist[(b*c - a*d)/(a^2 + b^2), Int[(b - a*Tan[e + f*x])/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[a*c + b*d, 0]

Rule 3640

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Sim
p[a*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*f*m*(b*c - a*d))), x] + Dist[1/(2*a*m*(b*c - a*d))
, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[b*c*m - a*d*(2*m + n + 1) + b*d*(m + n + 1)*Tan
[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2
+ d^2, 0] && LtQ[m, 0] && (IntegerQ[m] || IntegersQ[2*m, 2*n])

Rule 3677

Int[((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_
.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a*A + b*B)*(a + b*Tan[e + f*x])^m*((c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)/(2*
f*m*(b*c - a*d))), x] + Dist[1/(2*a*m*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Si
mp[A*(b*c*m - a*d*(2*m + n + 1)) + B*(a*c*m - b*d*(n + 1)) + d*(A*b - a*B)*(m + n + 1)*Tan[e + f*x], x], x], x
] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, 0] &&  !GtQ[n,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {1}{(a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx &=-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\int \frac {-a (3 i c-7 d)-4 i a d \tan (e+f x)}{(a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{6 a^2 (i c-d)}\\ &=-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\int \frac {-3 a^2 \left (2 c^2+7 i c d-13 d^2\right )-3 a^2 (3 c+11 i d) d \tan (e+f x)}{(a+i a \tan (e+f x)) (c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{24 a^4 (c+i d)^2}\\ &=-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 (i c-d)^3 f \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\int \frac {6 a^3 \left (i c^3-5 c^2 d-13 i c d^2+25 d^3\right )+12 a^3 d \left (i c^2-5 c d-12 i d^2\right ) \tan (e+f x)}{(c+d \tan (e+f x))^2} \, dx}{48 a^6 (i c-d)^3}\\ &=\frac {d \left (c^3+5 i c^2 d-11 c d^2+25 i d^3\right )}{8 a^3 (c-i d) (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 (i c-d)^3 f \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\int \frac {-6 a^3 \left (5 c^3 d-i \left (c^4-11 c^2 d^2-15 i c d^3-24 d^4\right )\right )-6 a^3 d \left (5 c^2 d-i \left (c^3-11 c d^2+25 i d^3\right )\right ) \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{48 a^6 (i c-d)^3 \left (c^2+d^2\right )}\\ &=\frac {\left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2-10 i c^2 d^3-35 c d^4+25 i d^5\right ) x}{8 a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5}+\frac {d \left (c^3+5 i c^2 d-11 c d^2+25 i d^3\right )}{8 a^3 (c-i d) (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 (i c-d)^3 f \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))}-\frac {\left (d^4 (5 i c+3 d)\right ) \int \frac {d-c \tan (e+f x)}{c+d \tan (e+f x)} \, dx}{a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5}\\ &=\frac {\left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2-10 i c^2 d^3-35 c d^4+25 i d^5\right ) x}{8 a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5}-\frac {d^4 (5 i c+3 d) \log (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}{a^3 (c-i d)^2 (c+i d)^5 f}+\frac {d \left (c^3+5 i c^2 d-11 c d^2+25 i d^3\right )}{8 a^3 (c-i d) (c+i d)^4 f (c+d \tan (e+f x))}-\frac {1}{6 (i c-d) f (a+i a \tan (e+f x))^3 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {3 i c-11 d}{24 a (c+i d)^2 f (a+i a \tan (e+f x))^2 (c+d \tan (e+f x))}+\frac {c^2+5 i c d-12 d^2}{8 (i c-d)^3 f \left (a^3+i a^3 \tan (e+f x)\right ) (c+d \tan (e+f x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 5.22, size = 633, normalized size = 1.77 \begin {gather*} \frac {\sec ^3(e+f x) (\cos (f x)+i \sin (f x))^3 \left (\frac {6 i (c+i d) \left (3 c^2+14 i c d-23 d^2\right ) \cos (2 f x) (\cos (e)+i \sin (e))}{f}+\frac {3 (c+i d)^2 (3 c+7 i d) \cos (4 f x) (i \cos (e)+\sin (e))}{f}+\frac {96 (5 c-3 i d) d^4 \text {ArcTan}\left (\frac {\left (-3 c^2 d+d^3\right ) \cos (f x)-c \left (c^2-3 d^2\right ) \sin (f x)}{c \left (c^2-3 d^2\right ) \cos (f x)+d \left (-3 c^2+d^2\right ) \sin (f x)}\right ) \left (\cos \left (\frac {3 e}{2}\right )+i \sin \left (\frac {3 e}{2}\right )\right )^2}{(c-i d)^2 f}-\frac {48 i (5 c-3 i d) d^4 \log \left ((c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))^2\right ) \left (\cos \left (\frac {3 e}{2}\right )+i \sin \left (\frac {3 e}{2}\right )\right )^2}{(c-i d)^2 f}+\frac {96 (5 c-3 i d) d^4 x (\cos (3 e)+i \sin (3 e))}{(c-i d)^2}+\frac {12 \left (c^5+5 i c^4 d-10 c^3 d^2-10 i c^2 d^3-35 c d^4+25 i d^5\right ) x (\cos (3 e)+i \sin (3 e))}{(c-i d)^2}+\frac {2 (c+i d)^3 \cos (6 f x) (i \cos (3 e)+\sin (3 e))}{f}+\frac {6 (c+i d) \left (3 c^2+14 i c d-23 d^2\right ) (\cos (e)+i \sin (e)) \sin (2 f x)}{f}+\frac {3 (c+i d)^2 (3 c+7 i d) (\cos (e)-i \sin (e)) \sin (4 f x)}{f}+\frac {2 (c+i d)^3 (\cos (3 e)-i \sin (3 e)) \sin (6 f x)}{f}+\frac {96 d^5 (-i c+d) (\cos (3 e)+i \sin (3 e)) \sin (f x)}{(c-i d) f (c \cos (e)+d \sin (e)) (c \cos (e+f x)+d \sin (e+f x))}\right )}{96 (c+i d)^5 (a+i a \tan (e+f x))^3} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[1/((a + I*a*Tan[e + f*x])^3*(c + d*Tan[e + f*x])^2),x]

[Out]

(Sec[e + f*x]^3*(Cos[f*x] + I*Sin[f*x])^3*(((6*I)*(c + I*d)*(3*c^2 + (14*I)*c*d - 23*d^2)*Cos[2*f*x]*(Cos[e] +
I*Sin[e]))/f + (3*(c + I*d)^2*(3*c + (7*I)*d)*Cos[4*f*x]*(I*Cos[e] + Sin[e]))/f + (96*(5*c - (3*I)*d)*d^4*Arc
Tan[((-3*c^2*d + d^3)*Cos[f*x] - c*(c^2 - 3*d^2)*Sin[f*x])/(c*(c^2 - 3*d^2)*Cos[f*x] + d*(-3*c^2 + d^2)*Sin[f*
x])]*(Cos[(3*e)/2] + I*Sin[(3*e)/2])^2)/((c - I*d)^2*f) - ((48*I)*(5*c - (3*I)*d)*d^4*Log[(c*Cos[e + f*x] + d*
Sin[e + f*x])^2]*(Cos[(3*e)/2] + I*Sin[(3*e)/2])^2)/((c - I*d)^2*f) + (96*(5*c - (3*I)*d)*d^4*x*(Cos[3*e] + I*
Sin[3*e]))/(c - I*d)^2 + (12*(c^5 + (5*I)*c^4*d - 10*c^3*d^2 - (10*I)*c^2*d^3 - 35*c*d^4 + (25*I)*d^5)*x*(Cos[
3*e] + I*Sin[3*e]))/(c - I*d)^2 + (2*(c + I*d)^3*Cos[6*f*x]*(I*Cos[3*e] + Sin[3*e]))/f + (6*(c + I*d)*(3*c^2 +
(14*I)*c*d - 23*d^2)*(Cos[e] + I*Sin[e])*Sin[2*f*x])/f + (3*(c + I*d)^2*(3*c + (7*I)*d)*(Cos[e] - I*Sin[e])*S
in[4*f*x])/f + (2*(c + I*d)^3*(Cos[3*e] - I*Sin[3*e])*Sin[6*f*x])/f + (96*d^5*((-I)*c + d)*(Cos[3*e] + I*Sin[3
*e])*Sin[f*x])/((c - I*d)*f*(c*Cos[e] + d*Sin[e])*(c*Cos[e + f*x] + d*Sin[e + f*x]))))/(96*(c + I*d)^5*(a + I*
a*Tan[e + f*x])^3)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]
time = 1.03, size = 298, normalized size = 0.83 Too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/f/a^3*(1/16/(c+I*d)^5*(-I*c^3+23*I*c*d^2+7*c^2*d-49*d^3)*ln(tan(f*x+e)-I)-1/8*(-7*I*c^2*d+17*I*d^3-c^3+23*c*
d^2)/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)-1/6*(3*I*c^2*d-I*d^3+c^3-3*c*d^2)/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)^3-1/8*(I*c^3-11*I*c*d
^2-7*c^2*d+5*d^3)/(c+I*d)^5/(tan(f*x+e)-I)^2+1/16*I/(I*d-c)^2*ln(tan(f*x+e)+I)+I*d^4*(c^2+d^2)/(I*d-c)^2/(c+I*
d)^5/(c+d*tan(f*x+e))-d^4*(5*I*c+3*d)/(I*d-c)^2/(c+I*d)^5*ln(c+d*tan(f*x+e)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Exception raised: RuntimeError} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: RuntimeError >> ECL says: Error executing code in Maxima: expt: undefined: 0 to a negative e
xponent.

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]
time = 1.30, size = 609, normalized size = 1.71 \begin {gather*} -\frac {-2 i \, c^{6} + 4 \, c^{5} d - 2 i \, c^{4} d^{2} + 8 \, c^{3} d^{3} + 2 i \, c^{2} d^{4} + 4 \, c d^{5} + 2 i \, d^{6} - 12 \, {\left (c^{6} + 4 i \, c^{5} d - 5 \, c^{4} d^{2} - 85 \, c^{2} d^{4} + 124 i \, c d^{5} + 49 \, d^{6}\right )} f x e^{\left (8 i \, f x + 8 i \, e\right )} - 6 \, {\left (3 i \, c^{6} - 8 \, c^{5} d + 5 i \, c^{4} d^{2} - 40 \, c^{3} d^{3} + 25 i \, c^{2} d^{4} + 55 i \, d^{6} + 2 \, {\left (c^{6} + 6 i \, c^{5} d - 15 \, c^{4} d^{2} - 20 i \, c^{3} d^{3} - 65 \, c^{2} d^{4} - 26 i \, c d^{5} - 49 \, d^{6}\right )} f x\right )} e^{\left (6 i \, f x + 6 i \, e\right )} - 3 \, {\left (9 i \, c^{6} - 32 \, c^{5} d - 21 i \, c^{4} d^{2} - 64 \, c^{3} d^{3} - 69 i \, c^{2} d^{4} - 32 \, c d^{5} - 39 i \, d^{6}\right )} e^{\left (4 i \, f x + 4 i \, e\right )} + {\left (-11 i \, c^{6} + 30 \, c^{5} d - 3 i \, c^{4} d^{2} + 60 \, c^{3} d^{3} + 27 i \, c^{2} d^{4} + 30 \, c d^{5} + 19 i \, d^{6}\right )} e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} - 96 \, {\left ({\left (-5 i \, c^{2} d^{4} - 8 \, c d^{5} + 3 i \, d^{6}\right )} e^{\left (8 i \, f x + 8 i \, e\right )} + {\left (-5 i \, c^{2} d^{4} + 2 \, c d^{5} - 3 i \, d^{6}\right )} e^{\left (6 i \, f x + 6 i \, e\right )}\right )} \log \left (\frac {{\left (i \, c + d\right )} e^{\left (2 i \, f x + 2 i \, e\right )} + i \, c - d}{i \, c + d}\right )}{96 \, {\left ({\left (a^{3} c^{8} + 2 i \, a^{3} c^{7} d + 2 \, a^{3} c^{6} d^{2} + 6 i \, a^{3} c^{5} d^{3} + 6 i \, a^{3} c^{3} d^{5} - 2 \, a^{3} c^{2} d^{6} + 2 i \, a^{3} c d^{7} - a^{3} d^{8}\right )} f e^{\left (8 i \, f x + 8 i \, e\right )} + {\left (a^{3} c^{8} + 4 i \, a^{3} c^{7} d - 4 \, a^{3} c^{6} d^{2} + 4 i \, a^{3} c^{5} d^{3} - 10 \, a^{3} c^{4} d^{4} - 4 i \, a^{3} c^{3} d^{5} - 4 \, a^{3} c^{2} d^{6} - 4 i \, a^{3} c d^{7} + a^{3} d^{8}\right )} f e^{\left (6 i \, f x + 6 i \, e\right )}\right )}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/96*(-2*I*c^6 + 4*c^5*d - 2*I*c^4*d^2 + 8*c^3*d^3 + 2*I*c^2*d^4 + 4*c*d^5 + 2*I*d^6 - 12*(c^6 + 4*I*c^5*d -
5*c^4*d^2 - 85*c^2*d^4 + 124*I*c*d^5 + 49*d^6)*f*x*e^(8*I*f*x + 8*I*e) - 6*(3*I*c^6 - 8*c^5*d + 5*I*c^4*d^2 -
40*c^3*d^3 + 25*I*c^2*d^4 + 55*I*d^6 + 2*(c^6 + 6*I*c^5*d - 15*c^4*d^2 - 20*I*c^3*d^3 - 65*c^2*d^4 - 26*I*c*d^
5 - 49*d^6)*f*x)*e^(6*I*f*x + 6*I*e) - 3*(9*I*c^6 - 32*c^5*d - 21*I*c^4*d^2 - 64*c^3*d^3 - 69*I*c^2*d^4 - 32*c
*d^5 - 39*I*d^6)*e^(4*I*f*x + 4*I*e) + (-11*I*c^6 + 30*c^5*d - 3*I*c^4*d^2 + 60*c^3*d^3 + 27*I*c^2*d^4 + 30*c*
d^5 + 19*I*d^6)*e^(2*I*f*x + 2*I*e) - 96*((-5*I*c^2*d^4 - 8*c*d^5 + 3*I*d^6)*e^(8*I*f*x + 8*I*e) + (-5*I*c^2*d
^4 + 2*c*d^5 - 3*I*d^6)*e^(6*I*f*x + 6*I*e))*log(((I*c + d)*e^(2*I*f*x + 2*I*e) + I*c - d)/(I*c + d)))/((a^3*c
^8 + 2*I*a^3*c^7*d + 2*a^3*c^6*d^2 + 6*I*a^3*c^5*d^3 + 6*I*a^3*c^3*d^5 - 2*a^3*c^2*d^6 + 2*I*a^3*c*d^7 - a^3*d
^8)*f*e^(8*I*f*x + 8*I*e) + (a^3*c^8 + 4*I*a^3*c^7*d - 4*a^3*c^6*d^2 + 4*I*a^3*c^5*d^3 - 10*a^3*c^4*d^4 - 4*I*
a^3*c^3*d^5 - 4*a^3*c^2*d^6 - 4*I*a^3*c*d^7 + a^3*d^8)*f*e^(6*I*f*x + 6*I*e))

________________________________________________________________________________________

Sympy [A]
time = 73.49, size = 1792, normalized size = 5.02 \begin {gather*} \frac {2 d^{5}}{a^{3} c^{7} f + 3 i a^{3} c^{6} d f - a^{3} c^{5} d^{2} f + 5 i a^{3} c^{4} d^{3} f - 5 a^{3} c^{3} d^{4} f + i a^{3} c^{2} d^{5} f - 3 a^{3} c d^{6} f - i a^{3} d^{7} f + \left (a^{3} c^{7} f e^{2 i e} + i a^{3} c^{6} d f e^{2 i e} + 3 a^{3} c^{5} d^{2} f e^{2 i e} + 3 i a^{3} c^{4} d^{3} f e^{2 i e} + 3 a^{3} c^{3} d^{4} f e^{2 i e} + 3 i a^{3} c^{2} d^{5} f e^{2 i e} + a^{3} c d^{6} f e^{2 i e} + i a^{3} d^{7} f e^{2 i e}\right ) e^{2 i f x}} + \frac {x \left (c^{3} + 7 i c^{2} d - 23 c d^{2} - 49 i d^{3}\right )}{8 a^{3} c^{5} + 40 i a^{3} c^{4} d - 80 a^{3} c^{3} d^{2} - 80 i a^{3} c^{2} d^{3} + 40 a^{3} c d^{4} + 8 i a^{3} d^{5}} + \begin {cases} \frac {\left (512 i a^{6} c^{7} f^{2} e^{6 i e} - 3584 a^{6} c^{6} d f^{2} e^{6 i e} - 10752 i a^{6} c^{5} d^{2} f^{2} e^{6 i e} + 17920 a^{6} c^{4} d^{3} f^{2} e^{6 i e} + 17920 i a^{6} c^{3} d^{4} f^{2} e^{6 i e} - 10752 a^{6} c^{2} d^{5} f^{2} e^{6 i e} - 3584 i a^{6} c d^{6} f^{2} e^{6 i e} + 512 a^{6} d^{7} f^{2} e^{6 i e}\right ) e^{- 6 i f x} + \left (2304 i a^{6} c^{7} f^{2} e^{8 i e} - 19200 a^{6} c^{6} d f^{2} e^{8 i e} - 66816 i a^{6} c^{5} d^{2} f^{2} e^{8 i e} + 126720 a^{6} c^{4} d^{3} f^{2} e^{8 i e} + 142080 i a^{6} c^{3} d^{4} f^{2} e^{8 i e} - 94464 a^{6} c^{2} d^{5} f^{2} e^{8 i e} - 34560 i a^{6} c d^{6} f^{2} e^{8 i e} + 5376 a^{6} d^{7} f^{2} e^{8 i e}\right ) e^{- 4 i f x} + \left (4608 i a^{6} c^{7} f^{2} e^{10 i e} - 44544 a^{6} c^{6} d f^{2} e^{10 i e} - 188928 i a^{6} c^{5} d^{2} f^{2} e^{10 i e} + 437760 a^{6} c^{4} d^{3} f^{2} e^{10 i e} + 591360 i a^{6} c^{3} d^{4} f^{2} e^{10 i e} - 465408 a^{6} c^{2} d^{5} f^{2} e^{10 i e} - 198144 i a^{6} c d^{6} f^{2} e^{10 i e} + 35328 a^{6} d^{7} f^{2} e^{10 i e}\right ) e^{- 2 i f x}}{24576 a^{9} c^{9} f^{3} e^{12 i e} + 221184 i a^{9} c^{8} d f^{3} e^{12 i e} - 884736 a^{9} c^{7} d^{2} f^{3} e^{12 i e} - 2064384 i a^{9} c^{6} d^{3} f^{3} e^{12 i e} + 3096576 a^{9} c^{5} d^{4} f^{3} e^{12 i e} + 3096576 i a^{9} c^{4} d^{5} f^{3} e^{12 i e} - 2064384 a^{9} c^{3} d^{6} f^{3} e^{12 i e} - 884736 i a^{9} c^{2} d^{7} f^{3} e^{12 i e} + 221184 a^{9} c d^{8} f^{3} e^{12 i e} + 24576 i a^{9} d^{9} f^{3} e^{12 i e}} & \text {for}\: 24576 a^{9} c^{9} f^{3} e^{12 i e} + 221184 i a^{9} c^{8} d f^{3} e^{12 i e} - 884736 a^{9} c^{7} d^{2} f^{3} e^{12 i e} - 2064384 i a^{9} c^{6} d^{3} f^{3} e^{12 i e} + 3096576 a^{9} c^{5} d^{4} f^{3} e^{12 i e} + 3096576 i a^{9} c^{4} d^{5} f^{3} e^{12 i e} - 2064384 a^{9} c^{3} d^{6} f^{3} e^{12 i e} - 884736 i a^{9} c^{2} d^{7} f^{3} e^{12 i e} + 221184 a^{9} c d^{8} f^{3} e^{12 i e} + 24576 i a^{9} d^{9} f^{3} e^{12 i e} \neq 0 \\x \left (- \frac {c^{3} + 7 i c^{2} d - 23 c d^{2} - 49 i d^{3}}{8 a^{3} c^{5} + 40 i a^{3} c^{4} d - 80 a^{3} c^{3} d^{2} - 80 i a^{3} c^{2} d^{3} + 40 a^{3} c d^{4} + 8 i a^{3} d^{5}} + \frac {c^{3} e^{6 i e} + 3 c^{3} e^{4 i e} + 3 c^{3} e^{2 i e} + c^{3} + 7 i c^{2} d e^{6 i e} + 17 i c^{2} d e^{4 i e} + 13 i c^{2} d e^{2 i e} + 3 i c^{2} d - 23 c d^{2} e^{6 i e} - 37 c d^{2} e^{4 i e} - 17 c d^{2} e^{2 i e} - 3 c d^{2} - 49 i d^{3} e^{6 i e} - 23 i d^{3} e^{4 i e} - 7 i d^{3} e^{2 i e} - i d^{3}}{8 a^{3} c^{5} e^{6 i e} + 40 i a^{3} c^{4} d e^{6 i e} - 80 a^{3} c^{3} d^{2} e^{6 i e} - 80 i a^{3} c^{2} d^{3} e^{6 i e} + 40 a^{3} c d^{4} e^{6 i e} + 8 i a^{3} d^{5} e^{6 i e}}\right ) & \text {otherwise} \end {cases} - \frac {i d^{4} \cdot \left (5 c - 3 i d\right ) \log {\left (\frac {c + i d}{c e^{2 i e} - i d e^{2 i e}} + e^{2 i f x} \right )}}{a^{3} f \left (c - i d\right )^{2} \left (c + i d\right )^{5}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))**3/(c+d*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

2*d**5/(a**3*c**7*f + 3*I*a**3*c**6*d*f - a**3*c**5*d**2*f + 5*I*a**3*c**4*d**3*f - 5*a**3*c**3*d**4*f + I*a**
3*c**2*d**5*f - 3*a**3*c*d**6*f - I*a**3*d**7*f + (a**3*c**7*f*exp(2*I*e) + I*a**3*c**6*d*f*exp(2*I*e) + 3*a**
3*c**5*d**2*f*exp(2*I*e) + 3*I*a**3*c**4*d**3*f*exp(2*I*e) + 3*a**3*c**3*d**4*f*exp(2*I*e) + 3*I*a**3*c**2*d**
5*f*exp(2*I*e) + a**3*c*d**6*f*exp(2*I*e) + I*a**3*d**7*f*exp(2*I*e))*exp(2*I*f*x)) + x*(c**3 + 7*I*c**2*d - 2
3*c*d**2 - 49*I*d**3)/(8*a**3*c**5 + 40*I*a**3*c**4*d - 80*a**3*c**3*d**2 - 80*I*a**3*c**2*d**3 + 40*a**3*c*d*
*4 + 8*I*a**3*d**5) + Piecewise((((512*I*a**6*c**7*f**2*exp(6*I*e) - 3584*a**6*c**6*d*f**2*exp(6*I*e) - 10752*
I*a**6*c**5*d**2*f**2*exp(6*I*e) + 17920*a**6*c**4*d**3*f**2*exp(6*I*e) + 17920*I*a**6*c**3*d**4*f**2*exp(6*I*
e) - 10752*a**6*c**2*d**5*f**2*exp(6*I*e) - 3584*I*a**6*c*d**6*f**2*exp(6*I*e) + 512*a**6*d**7*f**2*exp(6*I*e)
)*exp(-6*I*f*x) + (2304*I*a**6*c**7*f**2*exp(8*I*e) - 19200*a**6*c**6*d*f**2*exp(8*I*e) - 66816*I*a**6*c**5*d*
*2*f**2*exp(8*I*e) + 126720*a**6*c**4*d**3*f**2*exp(8*I*e) + 142080*I*a**6*c**3*d**4*f**2*exp(8*I*e) - 94464*a
**6*c**2*d**5*f**2*exp(8*I*e) - 34560*I*a**6*c*d**6*f**2*exp(8*I*e) + 5376*a**6*d**7*f**2*exp(8*I*e))*exp(-4*I
*f*x) + (4608*I*a**6*c**7*f**2*exp(10*I*e) - 44544*a**6*c**6*d*f**2*exp(10*I*e) - 188928*I*a**6*c**5*d**2*f**2
*exp(10*I*e) + 437760*a**6*c**4*d**3*f**2*exp(10*I*e) + 591360*I*a**6*c**3*d**4*f**2*exp(10*I*e) - 465408*a**6
*c**2*d**5*f**2*exp(10*I*e) - 198144*I*a**6*c*d**6*f**2*exp(10*I*e) + 35328*a**6*d**7*f**2*exp(10*I*e))*exp(-2
*I*f*x))/(24576*a**9*c**9*f**3*exp(12*I*e) + 221184*I*a**9*c**8*d*f**3*exp(12*I*e) - 884736*a**9*c**7*d**2*f**
3*exp(12*I*e) - 2064384*I*a**9*c**6*d**3*f**3*exp(12*I*e) + 3096576*a**9*c**5*d**4*f**3*exp(12*I*e) + 3096576*
I*a**9*c**4*d**5*f**3*exp(12*I*e) - 2064384*a**9*c**3*d**6*f**3*exp(12*I*e) - 884736*I*a**9*c**2*d**7*f**3*exp
(12*I*e) + 221184*a**9*c*d**8*f**3*exp(12*I*e) + 24576*I*a**9*d**9*f**3*exp(12*I*e)), Ne(24576*a**9*c**9*f**3*
exp(12*I*e) + 221184*I*a**9*c**8*d*f**3*exp(12*I*e) - 884736*a**9*c**7*d**2*f**3*exp(12*I*e) - 2064384*I*a**9*
c**6*d**3*f**3*exp(12*I*e) + 3096576*a**9*c**5*d**4*f**3*exp(12*I*e) + 3096576*I*a**9*c**4*d**5*f**3*exp(12*I*
e) - 2064384*a**9*c**3*d**6*f**3*exp(12*I*e) - 884736*I*a**9*c**2*d**7*f**3*exp(12*I*e) + 221184*a**9*c*d**8*f
**3*exp(12*I*e) + 24576*I*a**9*d**9*f**3*exp(12*I*e), 0)), (x*(-(c**3 + 7*I*c**2*d - 23*c*d**2 - 49*I*d**3)/(8
*a**3*c**5 + 40*I*a**3*c**4*d - 80*a**3*c**3*d**2 - 80*I*a**3*c**2*d**3 + 40*a**3*c*d**4 + 8*I*a**3*d**5) + (c
**3*exp(6*I*e) + 3*c**3*exp(4*I*e) + 3*c**3*exp(2*I*e) + c**3 + 7*I*c**2*d*exp(6*I*e) + 17*I*c**2*d*exp(4*I*e)
+ 13*I*c**2*d*exp(2*I*e) + 3*I*c**2*d - 23*c*d**2*exp(6*I*e) - 37*c*d**2*exp(4*I*e) - 17*c*d**2*exp(2*I*e) -
3*c*d**2 - 49*I*d**3*exp(6*I*e) - 23*I*d**3*exp(4*I*e) - 7*I*d**3*exp(2*I*e) - I*d**3)/(8*a**3*c**5*exp(6*I*e)
+ 40*I*a**3*c**4*d*exp(6*I*e) - 80*a**3*c**3*d**2*exp(6*I*e) - 80*I*a**3*c**2*d**3*exp(6*I*e) + 40*a**3*c*d**
4*exp(6*I*e) + 8*I*a**3*d**5*exp(6*I*e))), True)) - I*d**4*(5*c - 3*I*d)*log((c + I*d)/(c*exp(2*I*e) - I*d*exp
(2*I*e)) + exp(2*I*f*x))/(a**3*f*(c - I*d)**2*(c + I*d)**5)

________________________________________________________________________________________

Giac [B] Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 648 vs. \(2 (316) = 632\).
time = 0.83, size = 648, normalized size = 1.82 \begin {gather*} -\frac {2 \, {\left (\frac {{\left (5 \, c d^{5} - 3 i \, d^{6}\right )} \log \left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}{-2 i \, a^{3} c^{7} d + 6 \, a^{3} c^{6} d^{2} + 2 i \, a^{3} c^{5} d^{3} + 10 \, a^{3} c^{4} d^{4} + 10 i \, a^{3} c^{3} d^{5} + 2 \, a^{3} c^{2} d^{6} + 6 i \, a^{3} c d^{7} - 2 \, a^{3} d^{8}} - \frac {{\left (c^{3} + 7 i \, c^{2} d - 23 \, c d^{2} - 49 i \, d^{3}\right )} \log \left (i \, \tan \left (f x + e\right ) + 1\right )}{32 i \, a^{3} c^{5} - 160 \, a^{3} c^{4} d - 320 i \, a^{3} c^{3} d^{2} + 320 \, a^{3} c^{2} d^{3} + 160 i \, a^{3} c d^{4} - 32 \, a^{3} d^{5}} - \frac {\log \left (-i \, \tan \left (f x + e\right ) + 1\right )}{-32 i \, a^{3} c^{2} - 64 \, a^{3} c d + 32 i \, a^{3} d^{2}} - \frac {5 \, c d^{5} \tan \left (f x + e\right ) - 3 i \, d^{6} \tan \left (f x + e\right ) + 6 \, c^{2} d^{4} - 3 i \, c d^{5} + d^{6}}{-2 \, {\left (i \, a^{3} c^{7} - 3 \, a^{3} c^{6} d - i \, a^{3} c^{5} d^{2} - 5 \, a^{3} c^{4} d^{3} - 5 i \, a^{3} c^{3} d^{4} - a^{3} c^{2} d^{5} - 3 i \, a^{3} c d^{6} + a^{3} d^{7}\right )} {\left (d \tan \left (f x + e\right ) + c\right )}} + \frac {11 \, c^{3} \tan \left (f x + e\right )^{3} + 77 i \, c^{2} d \tan \left (f x + e\right )^{3} - 253 \, c d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{3} - 539 i \, d^{3} \tan \left (f x + e\right )^{3} - 45 i \, c^{3} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 315 \, c^{2} d \tan \left (f x + e\right )^{2} + 1035 i \, c d^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} - 1821 \, d^{3} \tan \left (f x + e\right )^{2} - 69 \, c^{3} \tan \left (f x + e\right ) - 483 i \, c^{2} d \tan \left (f x + e\right ) + 1443 \, c d^{2} \tan \left (f x + e\right ) + 2085 i \, d^{3} \tan \left (f x + e\right ) + 51 i \, c^{3} - 293 \, c^{2} d - 709 i \, c d^{2} + 819 \, d^{3}}{-192 \, {\left (-i \, a^{3} c^{5} + 5 \, a^{3} c^{4} d + 10 i \, a^{3} c^{3} d^{2} - 10 \, a^{3} c^{2} d^{3} - 5 i \, a^{3} c d^{4} + a^{3} d^{5}\right )} {\left (\tan \left (f x + e\right ) - i\right )}^{3}}\right )}}{f} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/(a+I*a*tan(f*x+e))^3/(c+d*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-2*((5*c*d^5 - 3*I*d^6)*log(d*tan(f*x + e) + c)/(-2*I*a^3*c^7*d + 6*a^3*c^6*d^2 + 2*I*a^3*c^5*d^3 + 10*a^3*c^4
*d^4 + 10*I*a^3*c^3*d^5 + 2*a^3*c^2*d^6 + 6*I*a^3*c*d^7 - 2*a^3*d^8) - (c^3 + 7*I*c^2*d - 23*c*d^2 - 49*I*d^3)
*log(I*tan(f*x + e) + 1)/(32*I*a^3*c^5 - 160*a^3*c^4*d - 320*I*a^3*c^3*d^2 + 320*a^3*c^2*d^3 + 160*I*a^3*c*d^4
- 32*a^3*d^5) - log(-I*tan(f*x + e) + 1)/(-32*I*a^3*c^2 - 64*a^3*c*d + 32*I*a^3*d^2) - (5*c*d^5*tan(f*x + e)
- 3*I*d^6*tan(f*x + e) + 6*c^2*d^4 - 3*I*c*d^5 + d^6)/((-2*I*a^3*c^7 + 6*a^3*c^6*d + 2*I*a^3*c^5*d^2 + 10*a^3*
c^4*d^3 + 10*I*a^3*c^3*d^4 + 2*a^3*c^2*d^5 + 6*I*a^3*c*d^6 - 2*a^3*d^7)*(d*tan(f*x + e) + c)) + (11*c^3*tan(f*
x + e)^3 + 77*I*c^2*d*tan(f*x + e)^3 - 253*c*d^2*tan(f*x + e)^3 - 539*I*d^3*tan(f*x + e)^3 - 45*I*c^3*tan(f*x
+ e)^2 + 315*c^2*d*tan(f*x + e)^2 + 1035*I*c*d^2*tan(f*x + e)^2 - 1821*d^3*tan(f*x + e)^2 - 69*c^3*tan(f*x + e
) - 483*I*c^2*d*tan(f*x + e) + 1443*c*d^2*tan(f*x + e) + 2085*I*d^3*tan(f*x + e) + 51*I*c^3 - 293*c^2*d - 709*
I*c*d^2 + 819*d^3)/((192*I*a^3*c^5 - 960*a^3*c^4*d - 1920*I*a^3*c^3*d^2 + 1920*a^3*c^2*d^3 + 960*I*a^3*c*d^4 -
192*a^3*d^5)*(tan(f*x + e) - I)^3))/f

________________________________________________________________________________________

Mupad [B]
time = 11.67, size = 2653, normalized size = 7.43 \begin {gather*} \text {Too large to display} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/((a + a*tan(e + f*x)*1i)^3*(c + d*tan(e + f*x))^2),x)

[Out]

symsum(log(tan(e + f*x)*(c*d^7*550i + 625*d^8 + 129*c^2*d^6 + c^3*d^5*60i + 47*c^4*d^4 - c^5*d^3*10i - c^6*d^2
)*(a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i - 15*a^3*c^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4*d^4 + a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)
- root(a^9*c^7*d^7*e^3*18432i + 9984*a^9*c^10*d^4*e^3 - 9984*a^9*c^4*d^10*e^3 + a^9*c^9*d^5*e^3*9728i + a^9*c^
5*d^9*e^3*9728i + 6912*a^9*c^8*d^6*e^3 - 6912*a^9*c^6*d^8*e^3 + 2816*a^9*c^12*d^2*e^3 - 2816*a^9*c^2*d^12*e^3
- a^9*c^11*d^3*e^3*1024i - a^9*c^3*d^11*e^3*1024i - a^9*c^13*d*e^3*1536i - a^9*c*d^13*e^3*1536i + 256*a^9*d^14
*e^3 - 256*a^9*c^14*e^3 + a^3*c*d^9*e*7510i - a^3*c^9*d*e*10i - 6525*a^3*c^2*d^8*e - 350*a^3*c^4*d^6*e - a^3*c
^3*d^7*e*200i - 130*a^3*c^6*d^4*e + a^3*c^7*d^3*e*120i + a^3*c^5*d^5*e*100i + 45*a^3*c^8*d^2*e + 2353*a^3*d^10
*e - a^3*c^10*e + c^2*d^6*94i + 32*c^3*d^5 - c^4*d^4*5i - 176*c*d^7 + d^8*147i, e, k)*((a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i
- 15*a^3*c^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4*d^4 + a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)*(8*a^3*c^10 - 200*a^3*d^1
0 + a^3*c*d^9*704i + a^3*c^9*d*64i + 552*a^3*c^2*d^8 + a^3*c^3*d^7*768i + 1456*a^3*c^4*d^6 - a^3*c^5*d^5*512i
+ 464*a^3*c^6*d^4 - a^3*c^7*d^3*512i - 232*a^3*c^8*d^2) - root(a^9*c^7*d^7*e^3*18432i + 9984*a^9*c^10*d^4*e^3
- 9984*a^9*c^4*d^10*e^3 + a^9*c^9*d^5*e^3*9728i + a^9*c^5*d^9*e^3*9728i + 6912*a^9*c^8*d^6*e^3 - 6912*a^9*c^6*
d^8*e^3 + 2816*a^9*c^12*d^2*e^3 - 2816*a^9*c^2*d^12*e^3 - a^9*c^11*d^3*e^3*1024i - a^9*c^3*d^11*e^3*1024i - a^
9*c^13*d*e^3*1536i - a^9*c*d^13*e^3*1536i + 256*a^9*d^14*e^3 - 256*a^9*c^14*e^3 + a^3*c*d^9*e*7510i - a^3*c^9*
d*e*10i - 6525*a^3*c^2*d^8*e - 350*a^3*c^4*d^6*e - a^3*c^3*d^7*e*200i - 130*a^3*c^6*d^4*e + a^3*c^7*d^3*e*120i
+ a^3*c^5*d^5*e*100i + 45*a^3*c^8*d^2*e + 2353*a^3*d^10*e - a^3*c^10*e + c^2*d^6*94i + 32*c^3*d^5 - c^4*d^4*5
i - 176*c*d^7 + d^8*147i, e, k)*((a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i - 15*a^3*c^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4*d^4 +
a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)*(512*a^6*c*d^11 - 512*a^6*c^11*d - a^6*c^2*d^10*3072i - 6656*a^6*c^3*d^9 + a^6*
c^4*d^8*4096i - 7168*a^6*c^5*d^7 + a^6*c^6*d^6*14336i + 7168*a^6*c^7*d^5 + a^6*c^8*d^4*4096i + 6656*a^6*c^9*d^
3 - a^6*c^10*d^2*3072i) + tan(e + f*x)*(a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i - 15*a^3*c^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4
*d^4 + a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)*(128*a^6*c^12 + 384*a^6*d^12 - a^6*c*d^11*2304i + a^6*c^11*d*768i - 5120*
a^6*c^2*d^10 + a^6*c^3*d^9*3840i - 3712*a^6*c^4*d^8 + a^6*c^5*d^7*9728i + 7168*a^6*c^6*d^6 - a^6*c^7*d^5*512i
+ 3200*a^6*c^8*d^4 - a^6*c^9*d^3*3328i - 2048*a^6*c^10*d^2)) + tan(e + f*x)*(a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i - 15*a^3*c
^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4*d^4 + a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)*(a^3*d^10*576i + 1168*a^3*c*d^9 + 16
*a^3*c^9*d + a^3*c^2*d^8*704i + 2880*a^3*c^3*d^7 - a^3*c^4*d^6*1216i + 1248*a^3*c^5*d^5 - a^3*c^6*d^4*1216i -
448*a^3*c^7*d^3 + a^3*c^8*d^2*128i)) - (a^3*d^8 + a^3*c*d^7*6i - 15*a^3*c^2*d^6 - a^3*c^3*d^5*20i + 15*a^3*c^4
*d^4 + a^3*c^5*d^3*6i - a^3*c^6*d^2)*(639*c*d^7 + c^7*d - d^8*600i - c^2*d^6*230i + 47*c^3*d^5 - c^4*d^4*100i
- 47*c^5*d^3 + c^6*d^2*10i))*root(a^9*c^7*d^7*e^3*18432i + 9984*a^9*c^10*d^4*e^3 - 9984*a^9*c^4*d^10*e^3 + a^9
*c^9*d^5*e^3*9728i + a^9*c^5*d^9*e^3*9728i + 6912*a^9*c^8*d^6*e^3 - 6912*a^9*c^6*d^8*e^3 + 2816*a^9*c^12*d^2*e
^3 - 2816*a^9*c^2*d^12*e^3 - a^9*c^11*d^3*e^3*1024i - a^9*c^3*d^11*e^3*1024i - a^9*c^13*d*e^3*1536i - a^9*c*d^
13*e^3*1536i + 256*a^9*d^14*e^3 - 256*a^9*c^14*e^3 + a^3*c*d^9*e*7510i - a^3*c^9*d*e*10i - 6525*a^3*c^2*d^8*e
- 350*a^3*c^4*d^6*e - a^3*c^3*d^7*e*200i - 130*a^3*c^6*d^4*e + a^3*c^7*d^3*e*120i + a^3*c^5*d^5*e*100i + 45*a^
3*c^8*d^2*e + 2353*a^3*d^10*e - a^3*c^10*e + c^2*d^6*94i + 32*c^3*d^5 - c^4*d^4*5i - 176*c*d^7 + d^8*147i, e,
k), k, 1, 3)/f - ((tan(e + f*x)^3*(c^2*d*5i - 11*c*d^2 + c^3 + d^3*25i))/(8*a^3*(3*c*d^4 - c^4*d*3i - c^5 + d^
5*1i - c^2*d^3*2i + 2*c^3*d^2)) - (c*d^3*280i + c^3*d*136i + 40*c^4 + 96*d^4 - 104*c^2*d^2)/(96*a^3*d*(3*c*d^4
- c^4*d*3i - c^5 + d^5*1i - c^2*d^3*2i + 2*c^3*d^2)) + (tan(e + f*x)^2*(c*d^3*76i + c^3*d*4i + 2*c^4 + 126*d^
4 + 8*c^2*d^2))/(16*a^3*d*(3*c*d^4 - c^4*d*3i - c^5 + d^5*1i - c^2*d^3*2i + 2*c^3*d^2)) - (tan(e + f*x)*(c*d^3
*143i + c^3*d*35i + 9*c^4 + 142*d^4 - 29*c^2*d^2)*1i)/(24*a^3*d*(3*c*d^4 - c^4*d*3i - c^5 + d^5*1i - c^2*d^3*2
i + 2*c^3*d^2)))/(f*(tan(e + f*x)^3*(c/d - 3i) - tan(e + f*x)^2*((c*3i)/d + 3) + (c*1i)/d - tan(e + f*x)*((3*c
)/d - 1i) + tan(e + f*x)^4))

________________________________________________________________________________________